Система золотых бусин, превращенных в разряды чисел
Особое место в математическом материале М. Монтессори занимает Золотой материал - система Золотых бусин, объединенных в десятки, сотни и тысячи. Из Золотого материала и карточек с цифрами, выложенных системно, дети строят на ковриках десятичную систему и производят счисления: сложение, вычитание, умножают и делят.
Принцип предъявления детям Золотого материала остается традиционным для Монтессори: сначала предъявляются и называются конкретные бусины, стерженьки, пластинки и кубы, затем, совершенно отдельно, карточки с цифрами, изображающими разряды чисел, а затем те и другие представления сопоставляются.
Дети, уже имеющие представление о числе, количествах и цифрах, их изображающих, и даже, более того, выполняющие простейшие арифметические действия, легко переводят представления в понимание процесса счисления.
В дальнейшем, в школьные годы, на этих основаниях нетрудно будет развернуть этот процесс на уровне культурного навыка. Значит, целью предмета арифметики является навык умения считать, то есть переводить количество в знаки и сознательно оперировать ими. Лев Семенович Выготский подчеркнул бы эти две стороны культурного навыка, назвав их операционно-технической (умение переводить количество в знак) и содержательной (осмысление этого процесса).
Две стороны культурного навыка
Имея опыт работы с числовым рядом, количеством и величиной, дети легко переходят к более абстрактным действиям. Причем производя эти действия с конкретным монтессори-материалом сначала в категории единиц, они легко переносят их в категорию десятков, сотен, тысяч, обнаружив идентичность работы. В этом им помогают, прежде всего, упражнения с Золотым материалом, который М. Монтессори относит ко второй группе своих математических материализованных абстракций.
В операциях с четырехзначными числами дети легко выделяют количество единиц, десятков, сотен и т.д. и производят действия по разрядам и с переходом через разряд, которые являются сложнейшими в обучении традиционным методом.
Некоторые математические материалы второй группы восходят по своему смыслу к русским счетам, в которых заключена идея позиционной записи числа. Работая со счетами, можно увидеть переход из натуральной арифметики в культурную, где надо абстрагироваться и представить за одной косточкой десяток или сотню.
С занятий со счетами и изучения различных нумераций (римской, славянской, арабской) начинал математическое образование детей и Лев Николаевич Толстой. Упражнения с конкретным материалом (стерженьки, бусины, фишки) позволяют детям решать примеры сразу в несколько действий в пределах сотни, тысячи, десятков тысяч без перехода или с переходом через десяток, а позднее — сравнивать суммы и разности, решать примеры со скобками, производить действия умножения и деления с малыми и большими числами, решать примеры с одним неизвестным, а так же с квадратными и кубическими числами и дробями.
Введение количеств. Единица, десяток, сотня, тысяча
Принцип освоения детьми разрядов чисел тот же, что и при изучении числа и цифры. То есть сначала они осваивают число в его предметном выражении (на бусинах), а затем цифру, которая его изображает.
Материал. Небольшой деревянный поднос, на котором справа налево, как обычно записываются многозначные числа, лежат: бусина-единица, стерженек-десяток, пластинка-сотня и куб-тысяча.
В отдельную коробку сложены полоски, на которых изображены цифры: 1 (зеленый шрифт), 10 (синий шрифт), 100 (красный шрифт) и 1000 (зеленый шрифт). Понятно, что цвета шрифтов тоже помогают ребенку освоить разряды чисел. Отныне единицам будет сопутствовать зеленый цвет (в том числе и единицам тысяч и т. д.), десяткам — синий, сотням — красный.
Надо сказать, что многие педагоги пытались создать аналог Золотого материала М. Монтессори. Интересный вариант был изобретен в Финляндии. Вместо Золотых бусин здесь предлагали маленькие кубики зеленого, красного, синего и желтого цветов. Из них складывались деревянные «палочки» - десятки, пластинки-сотни и большие кубы – тысячи. В России Золотой материал выпускают на фабриках в Санкт-Петербурге и в Омске.
Итак, работа с Золотым материалом
Прямая цель: ребенок учится считать с помощью бусин Золотого материала. Он выстраивает десятичную систему из бусин, сравнивает конкретные бусины-единицы с их цифровыми изображениями, проживает четыре арифметических действия.
Косвенная цель: с помощью "материализованных абстракций" коими являются бусины Золотого математического материала М. Монтессори ребенок развивает абстрактное мышление, овладевает числом и арифметикой, учится познавать мир через связи, а не через отдельные явления. Ребенок сравнивает, измеряет, систематизирует, самостоятельно формулирует математические понятия.
Презентация и упражнения. Часть первая. Введение в Золотой материал
Наставница вместе с ребенком приносят на стол презентационный поднос с Золотым материалом. Она показывает ребенку Золотую бусину и говорит: «Это 1 единица». Ребенок может подержать ее в руках и потом положить на столе справа.
Наставница берет в левую руку стерженек-десяток, а в правую – бусину-единицу. С помощью этой бусины наставница пересчитывает бусины на стерженьке, приговаривая : «Одна единица, две единицы, три единицы…» В конце пересчета она говорит: 10 единиц – это один десяток». Она предлагает ребенку самостоятельно повторить пересчет.
Подобным образом наставница и ребенок пересчитывают десятки в пластинке-сотне и сотни в кубе-тысяче. Затем наставница проводит трехступенчатый урок на знание ребенком «деталей» Золотого материала.
Подобным же образом наставница дает презентацию символов единиц, десятков, сотен и тысяч, коробка с которыми имеется в презентационном комплекте.
По первой группе математического материала ребенок уже легко узнает единицу и десяток. Теперь он осваивает новое значение нуля в изображении десятков, сотен и тысяч.
Третьим действием служит сравнение чисел и их письменных изображений. Наставница кладет перед ребенком бусину-единицу и предлагает ему положить под ней цифру один. Так же объединяются десятки, сотни и тысячи. Далее ребенок проводит эту работу самостоятельно.
Часть вторая. Построение десятичной системы на двух коврах
В построении десятичной системы, кроме наставницы, могут участвовать двое детей. Но чаще взрослый показывает, как строится десятичная система одному ребенку.
Наставница вместе с ребенком расстилают два ковра и приносит второй презентационный поднос. На нем слева направо лежат: куб-тысяча, коробка с 9 пластинками-сотнями, коробка с 9 стерженьками-десятками и на специальной подставке 9 бусин-единиц. К этому прилагается коробка с большими цифрами, изображающими 1000, 900, 90 и1.
Ребенок и наставница начинают выкладывать на одном из ковров бусины. Сначала в столбик в правой части ковра выкладывается 9 бусин. Наставница говорит: « Если мы положим десятую единицу, у нас получится один десяток» Эта фраза служит знаком к тому, что дальше мы будем выкладывать именно десятки.
Таким же способом ребенок самостоятельно выкладывает другие столбики бусин – десятки, сотни. В конце он кладет куб-тысячу. Наставница и ребенок перемещаются на соседний ковер и выкладывают цифры.
Если дети выкладывают десятичную систему вдвоем, то один из них, обычно, выкладывает бусины, а другой – цифры.
Часть третья. Набор чисел
Когда дети выучились сопоставлять цифры и числа, можно предложить им набирать любое четырехзначное число. Сначала они набирают его из бусин, а затем «подписывают» цифрами.
Часто дети сами придумывают себе число за числом и с удовольствием тренируют свой новый навык. Когда они овладевают набором чисел в совершенстве, можно переходить к освоению арифметических действий с четырехзначными числами.
Наблюдаем ребенка, работающего с Золотым материалом
В основе подходов к становлению у детей математического мышления лежит понятие "материализованные абстракции - так называла М.онтессори свой дидактический материал. Она рассматривала сам предмет математики не как сумму неких знаний, а как позицию человека, как особый способ овладения миром с помощью его познания, деятельности и эмоционального участия.
Числа учат так же, как язык, и потому математика - наука универсальная, по сути дела вселенская. Достойна великого восхищения выложенная на маленьком коврике картина десятичной системы, составленная пятилетним ребенком из сотен бусин, стерженьков, кубов и их цифрового изображения.
С помощью зримой и осязаемой десятичной системы ребенок учится овладевать миром чисел. Золотой материал относится ко второй группе математических материалов М. Монтессори и стоит на отдельной полке вместе с Банком Золотого материала и коробкой с игрой в марки, которая устроена по его подобию.
Наверху стоят подносы для презентаций, внизу - все остальное. Презентация материала дается лишь один раз, когда ребенок впервые его берет . В дальнейшем взрослый помогает ребенку лишь по его просьбе.
Обычно наставницы договариваются с детьми, что эта просьба будет выражена поднятием руки, а не громким зовом, который может помешать в работе другим. Наблюдение за работой ребенка ведется, можно сказать, произвольно. Наставница записывает в свой блокнот лишь несколько важных фраз.
Настя Ш. 5 лет 10 месяцев. Презентация Золотого материала была дана ей поздно - когда девочка уже прекрасно освоила материалы первой группы, а так же Доски Сегена и могла устно считать даже с переходом через десяток.
Большие числа захватили ее. Уже без взрослого она с большим удовольствием повторяла все этапы презентации по нескольку раз. Ее удивляло, что 10 скрепленных вместе бусин составляют 1 десяток. Она несколько раз пересчитывала пластинку-сотню составленную из этих десятков. При этом считала вслух.
Настя занималась повторением презентации так долго, что мне даже показалось это странным. Она никак не переходила к построению десятичной системы. Только когда она заметила, что это с удовольствием делают другие, спросила разрешение работать весте и к бусинам уже не прикасалась, а занялась цифрами.
Обычно дети несколько дней, а то и недель не переходят от построения десятичной системы к набору числа, а Настя сделала этот переход моментально. Она уселась за столик, положила рядом коробку с большими цифрами, сама придумала число и стала бегать к Банку Золотого материала за бусинами.
Упражнялась с набором чисел довольно долго и никого к себе не подпускала. Но потом все-таки попросила меня задать ей число "потруднее"...
Арсений Н. 5 лет, Центр "Радинец" 2006 год. Мальчик из многодетной семьи. Сестренки и братишки посещали монтессори-группу. Арсений приходит в Центр второй год. У него серьезные проблемы со зрением.
Арсений без труда освоил первую группу математического материала к началу шестого года жизни. Он знает состав числа, переход через десяток, решает примеры, не пользуясь материалом. За одно занятие освоил презентацию бусин и сразу же решил складывать десятичную систему. Видимо, ему нравился сам процесс упорядочивания такого большого количество бусин, стерженьков и кубов, и он долгое время раскладывал их не трогая цифры. Только на 4-е занятие он решился взять цифры.
Наставница показала ему новое значение нуля, обозначающего теперь принадлежность числа к тому или иному разряду, и Арсений с немалой долей напряжения стал раскладывать таблички с цифрами. В дальнейшем его больше интересовали арифметические действия с Золотым материалом, чем просто его раскладывание на ковре или набор чисел.
При подготовке текстов наблюдений за работой ребенка советуем прочитать подобные дневники Юлии Ивановны Фаусек. (Юлия Фаусек. Педагогика Марии Монтессори. Издательство «Генезис» 2007 год. Стр. 138 – 143 и на других страницах этой книги).
