Сколько у Настеньки глазок? – Два. А сколько носиков – один! А пальчиков на руке? – пять
Математика не является неким особо сложным явлением, суть которого может постигнуть только специально одаренный человек, математическое сознание присуще любому человеку, в том числе и маленькому, потому что тесно связано с его обыденной жизнью. Двух-трех летние дети уже немножко умеют считать.
Повседневная жизнь дает к этому множество поводов. «Едет одна машина, и едет другая машина», – сообщает маленький мальчик, глядя в окно. Мама говорит ребенку: «У тебя на переднике не хватает двух пуговиц» (пример столетней давности из работы М. Монтессори). «Сколько у Настеньки глазок? – Два. А сколько носиков – один! А пальчиков на руке? – пять». На стол бабушка ставит четыре тарелки, к ним кладет столько же вилок и ложек. А блюдо жаркого – одно на всех.
Дети с необыкновенной легкостью изучают нумерацию, заключающуюся, прежде всего, в пересчете предметов. Впрочем, еще 3 000 лет до нашей эры во времена шумеров человек умел считать и измерять. Заключение сделок, построение последовательностей, классификация и упорядочивание – все это проявление математического мышления. Ребенок движется от восприятия конкретных предметов, сравнения их друг с другом к построению рядов от большего к меньшему, от длинного к короткому. При этом он действует сообразно интенсивно развивающихся в этот период его жизни чувств: зрения, слуха, осязания и др.
Детский ум одновременно впитывает многообразный сенсорный и моторный опыт, развивая при этом математические способности. Для большинства маленьких детей математика является такой же близкой и естественной, как, например, речь. Ребенок учится считать и решать примеры почти так же легко, как грамотно говорить, читать и писать.
В коробке лежали белые и желтые бусины и шнурок
Даже если специально не заниматься с ребенком математикой, а просто окружить его предметами, которые можно пересчитывать и выстраивать в логической последовательности, ребенок, будет спонтанно развивать свои математические способности.
… В коробке лежали белые и желтые бусины и шнурок. Маруся потихоньку взяла эту коробку и стала собирать бусы. Мама наблюдала за ней из кухни. Маруся сначала нанизала белые бусины, тщательно отбирая их в коробке. Затем – желтые.
Мама порадовалась, что ее трехлетняя девочка уже научилась различать цвета и сравнивать их. Но в следующую минуту Маруся вдруг стала передвигать бусины на шнурке и шевелить губами, определенно произнося: "один, два, три..." Неужели малышка уже считает?! Но ведь ее никто не учил! Может, девочка в свои три года и не слишком точно называла порядковые числа, но спонтанный переход от сенсорного навыка к попытке мыслить математически, определенно был проявлен ею.
Ничто так не развивает разум ребенка, как воспитание чувств. Хорошо развитая сенсорика – основа для воспитания математического мышления. «У детей уже есть все те инстинктивные познания, которые необходимы как подготовительная ступень к восприятию идей нумерации, числа, – писала М. Монтессори, – понятие количества входило во все упражнения для воспитания чувств: длиннее, короче, темнее, светлее. Также понятия тождества и различия составляли часть техники развития внешних чувств; упражнения начинались с распознавания тождественных объектов и переходили в группировку в известной градации похожих предметов».
Вглядимся в сенсорные материалы М. Монтессори
М. Монтессори называла свою педагогику системой раскрытия человеческого потенциала в свободной и самостоятельной деятельности ребенка в специально подготовленной взрослыми развивающей среде. В основе лежит идея опосредованного учения. То есть, ребенок определенным образом действует с теми или иными предметами, добиваясь точного их использования (строит Розовую башню или Коричневую лестницу, выкладывает пары цветных табличек, собирает фигуры из конструктивных треугольников), но косвенно, сам того не замечая, учится сравнивать, дифференцировать или объединять, анализировать свои действия.
Попробуем вглядеться в классические сенсорные материалы М. Монтессори с точки зрения их косвенного математического смысла. Вот что нетрудно заметить.
Блоки цилиндров. В каждом блоке именно по 10 цилиндров и 10 отверстий, что соответствует десятичной системе счислений. Сами цилиндры являются геометрической формой. Цилиндры различаются высотой и объемом. У отверстий блоков разная глубина и объем. Легко вводятся понятия «большой-маленький», «высокий-низкий», «толстый-тонкий», «глубокий-мелкий».
Розовая башня. Состоит из именно 10 кубов. Размер каждой стороны кубов уменьшается последовательно именно на 10 мм. Кубы имеют последовательно меняющийся вес. Легко вводятся понятия «большой-маленький», «больше, чем – меньше, чем». Куб – сам по себе объемная геометрическая форма. Розовая башня выстраивается строго в последовательности от большого куба к маленькому и любые другие построения из розовых кубов сохраняют этот принцип.
Коричневая лестница. Состоит именно из 10 призм разной величины. Каждая призма имеет одинаковую длину, а ширина каждой стороны отличается на 10 мм. Четырехгранная призма является объемной геометрической фигурой. Призмы коричневой лестницы выстраиваются строго от самой толстой к самой тонкой, и все другие построения сохраняют этот принцип. Легко вводятся понятия «толстый-тонкий» «тоньше, чем…», «толще, чем.. .».
Красные штанги. Материал состоит из 10 красных штанг различающихся по длине. Размер каждой штанги уменьшается на 10 см. Легко вводятся понятия «длинный», «короткий», «длиннее, чем…», «короче, чем…».
Цветные таблички. Составляются пары одинаковых по цвету табличек. Выстраивается сериационный ряд относительно оттенков того или иного цвета.
Шершавые дощечки и таблички. Определение на ощупь тождественного и различного. Составление пар табличек одинаковых при ощупывании. Построение сериационного ряда табличек по основному их свойству.
Звоночки. Определение на слух тождественного и различного. Составление пар одинаково звучащих звоночков. Построение сериационного ряда по основному их свойству.
Шумящие цилиндры, вкусовые и тепловые бутылочки, тепловые и весовые таблички. Определение тождественного и различного по тому или иному свойству. Составление пар. Построение сериационных рядов.
Среди классических сенсорных материалов М. Монтессори существует целая группа, которую принято называть: материалы для подготовки к математике. К ним относят корзинку с объемными геометрическими телами, цветные цилиндры, 5 коробок конструктивных треугольников, геометрический комод и накладывающиеся геометрические фигуры. Позднее были изобретены биномиальный и триномиальные кубы.
Интересно, что один из центральных материалов, помогающих ребенку освоить процесс письма, – металлические рамки и вкладыши – также имеет математический смысл. Материал состоит из рамок и вкладышей, имеющий форму геометрических фигур и всего их на двух подставках умещается ровно 10.
Упражняясь в штриховке и обводке, ребенок обводит и штрихует именно квадраты, треугольники, круги, овалы и другие геометрические фигуры.
В высшей степени полезной и профессионально написанной книге Марины Геннадиевны Сороковой «Математика по методу Монтессори в детском саду и школе» приводится объяснение способа опосредованной подготовки ребенка к изучению математики внука Марии Монтессори Марио М. Монтессори психолога по профессии: «Формирование подсознательного знания является аккумуляцией впечатлений, зарегистрированных бессознательно, но сохраненных в подсознании. Иллюстрацией этому мог бы служить человек, который в течение многих лет ходил на работу через лес и, конечно, сохранил впечатление от бесчисленных листьев. Даже, если он, возможно, не обращал внимания на разницу между типами листьев. Случайное замечание ботаника мгновенно сфокусируют его внимание на этой разнице. Почему?
Потому что его знание уже находилось в подсознании. Но если бы длительный опыт впечатлений от листьев не имел места, вызывало бы замечание ботаника такое мгновенное понимание? Необходимо еще нечто, что может вывести подсознательное знание к свету сознания. Это может быть спонтанное внезапное понимание , или слово после многих лет подсознательного опыта: точка на длинной линии, которая удалена на мили!
«Итак, рассуждала Мария Монтессори, - эта точка сознания может возникнуть спонтанно, или же ее появление может быть вызвано целенаправленно или другим образом.» Косвенная подготовка была бессознательным или целенаправленным объединении в притягательном чувственном опыте предпосылок, которые будут подготавливать способность, необходимую для дальнейшей задачи».
Материализованные абстракции
Известно, что М. Монтессори называла свои дидактические материалы «материализованными абстракциями». Что она имела в виду? Ясно, что такие понятия как «вес», «размер», «форма», «цвет» являются абстрактными, ведь существуют лишь предметы, имеющие вес, размер, форму, цвет. Но с помощью сенсорных материалов Монтессори ребенок может реально ощутить эти абстрактные понятия и, более того, проанализировать их.
Целью предмета арифметика является формирование у детей умения считать, то есть, переводить количество в знаки и сознательно оперировать с ними. Л.С.Выготский подчеркнул бы эти две стороны культурного навыка, назвав их операционно-технической (умение переводить количество в знак) и содержательной (осмысление этого процесса). Имея опыт работы с числовым рядом, количеством и величиной, дети переходят к более абстрактным математическим операциям — к вычислительным действиям. Причем, производя эти действия с конкретным Монтессори-материалом сначала в категории единиц, они легко переносят их в категорию десятков, сотен, тысяч, обнаружив идентичность работы.
В этом им помогают упражнения с золотым материалом, который Монтессори относит ко второй группе своих математических «материализованных абстракций». В операциях с четырехзначными числами дети легко выделяют количество единиц, десятков, сотен и т.д. и производят действия по разрядам и с переходом через разряд, которые являются сложнейшими в обучении традиционным методом.
Многие математические материалы восходят по своему смыслу к русским счетам, в которых заключена идея позиционной записи числа. Работая со счетами, можно увидеть переход из натуральной арифметики в культурную, где надо абстрагироваться и представить за одной косточкой десяток или сотню, С занятий со счетами и изучения различных нумераций (римской, славянской, арабской) начинал математическое образование своих детей и Лев Николаевич Толстой.
На стыке сравнения количества и его цифрового знака рождается понятие числа как единицы измерения. Поэтому дети 5—7-летнего возраста в Монтессори-школе осваивают метрическую систему, разбираются в единицах измерения и измерительных приборах.
В подготовленной среде младшего класса монтессори-школы создается метрическая лаборатория. Упражнения с конкретным материалом (стерженьки, бусины, фишки) позволяют детям решать примеры в несколько действий в пределах сотни, тысячи и десятков тысяч без перехода через десяток и с переходом, сравнивать суммы и разности, решать примеры со скобками, производить действия умножения и деления с малыми и большими числами, решать примеры с одним неизвестным, а также с квадратными и кубическими числами и дробями. Немало материалов, вводящих ребенка в мир алгебры, геометрии и стереометрии.
Елена Александровна Хилтунен - монтессори-педагог, сертификат Академии развивающей реабилитации (Мюнхен, Германия), эксперт Ассоциации Монтессори-педагогов России, автор нескольких книг по монтессори-педагогике, приглашенный монтессори-тренер педагогического Университета им. Герцена (Санкт-Петербург).
